שאלה קצרה – חישוב סכום של מכפלות – בגרות חורף 2023
סדרות 571 · שיעור 55
חורף 2023, שאלה 1 · סעיף א
שיעור 55: שאלה קצרה – חישוב סכום של מכפלות – בגרות חורף 2023
פרק 9 – שאלות קצרות בסדרות (שאלה 1 בבגרות 571)
1
נוסח השאלה
2
סעיף א (1) – חישוב הסכום
3
סעיף א (2) – הערך של C
📄 נוסח השאלה
א.
בעבור כל
n
טבעי מתקיים:
1 · 2 + 4 · 7 + ...
+ (3n − 2)(5n − 3)
= n(5n
2
− 2n − 1)
(1) חשבו את הסכום:
7 · 12 + 10 · 17 + ...
+ 58 · 97
.
(2) נתון:
1 · 2 + 4 · 7 + ...
+ (3n − 2)(5n − 3)
+ (3n + 1)(5n + 2)
= (n + 1)(5n
2
+ 8n + C)
מצאו את
C
. נמקו.
סעיף א (1) – חישוב הסכום
נסמן
S
n
= n(5n
2
− 2n − 1)
. האיבר הכללי
a
k
= (3k − 2)(5k − 3)
.
האיבר
7 · 12
:
3k − 2 = 7
⟸
k = 3
. האיבר
58 · 97
:
3k − 2 = 58
⟸
k = 20
(ובדיקה:
5 · 20 − 3 = 97
).
7 · 12 + ... + 58 · 97 = S
20
− S
2
📐 נוסחה: סכום של קטע מהסדרה
S
20
= 20(5 · 400 − 40 − 1)
S
20
= 20 · 1959 = 39180
S
2
= 2(20 − 4 − 1) = 30
📐 נוסחה: סכום של קטע מהסדרה
a
k+1
+ ... + a
n
= S
n
− S
k
סעיף א (1) – חישוב הסכום · המשך
S
2
= 2(20 − 4 − 1) = 30
39180 − 30 = 39150
✅ פתרון סופי:
39150
סעיף א (2) – הערך של C
אגף שמאל הוא סכום
n + 1
האיברים הראשונים, ולכן הוא
S
n+1
:
S
n+1
= (n + 1) ·
📐 נוסחה: סכום עד n + 1
· (5(n + 1)
2
− 2(n + 1) − 1)
5(n + 1)
2
− 2(n + 1) − 1 =
= 5n
2
+ 10n + 5 − 2n − 2 − 1
= 5n
2
+ 8n + 2
📐 נוסחה: סכום עד n + 1
S
n+1
= S
n
+ a
n+1
סעיף א (2) – הערך של C · המשך
= 5n
2
+ 8n + 2
נשווה ל־
(n + 1)(5n
2
+ 8n + C)
לכל
n
:
C = 2
✅ פתרון סופי:
C = 2
📌 סיכום התשובות
סעיף א (1)
39150
סעיף א (2)
C = 2
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא
